マルチンゲールによる確率論

　ゼミでBrennan and Xia(2002)のDynamic Asset Allocation under Inflationを取り上げて発表した。まだまだ消化不良だが、1年前は、この手の連続時間モデルにはさっぱり歯が立たなかったことを思うと、ＩＣＳで鍛えられたおかげで、「この手の論文を理解できるようになる」という当初の目標は達成できていて、非常に手応えを感じる。ありがとうＩＣＳ。

　この論文の基本的なアイディアはCox and Huang(1989)のマルチンゲール・アプローチである。動的な問題を予算制約によって静的な問題に変換し、価値関数にかわって最適な投資額が未知となる。静的な問題は標準的なラグランジュ法で解くことができる。

　パラメーターの推定はカルマンフィルターによる最尤法である。連続時間のモデルになれてくると、モデルの記述がすっきりしていてロジックが分かりやすくなる。

　Brennan and Xiaの手法は、修論で使うモデルの候補のひとつになる。もう一つはCampbell and Viceira(1999)。Campbell and ViceiraはEpstein and Zinの再帰的効用関数を離散時間で近似して解いている。

　この調子で確率論を強化したいと思ったので、oazoの丸善で「マルチンゲールによる確率論」Ｄ．ウィリアムズを買う。この本は、数学をきちんと勉強してきていないオレでも分かりやすい。ついでに微分積分の強化のために「解析概論」（高木）も買う。

　秋学期に（無謀とは知りつつ）統計科学の数理と金融数理を取りたいと思うので、今から修論をきっちり準備しつつ、統計と金融数理の準備もしていきたい。

命題、公理・定義・定理

命題 proposition

　１つの判断または主張を表す文章で、それが真であるか偽であるか判定できるものを命題という。

公理 axiom、定義 definition、定理 theorem

　数学の命題の証明には、いくつかの事柄を使い、それらの事柄の証明にはさらにまたいくつかの事柄を使う。しかしどこまでさかのぼってもすべての事柄を証明しつくすことはできない。そこでいくつかの基礎になる事柄を無条件に前提として認め、これを根拠にして推論を進める。このように、推論の基礎として用いられる命題を「公理」という。公理または既に正しいと認められた事柄をもとにして新しい結果の正しい理由を説明するのが「証明」で、証明された事柄のうち重要であとの証明に用いられるものを「定理」という。また、定理から簡単に導かれてしかも定理と同じように使われるものをその定理の「系」という。また、いろいろの証明に必要な用語の意味を定めたものを「定義」という。

補題 lemma

　論証・証明に用いる補助定理、副命題。

異時点間効用関数

　Epstein-Zinの異時点間効用関数については、動的経済システムの最適制御（村田, 1998）に詳しい。この本にはベルマン方程式による多期間最適化の応用も出ている。この本を最初に読んだときは、さっぱり理解できなかったが、さすがにICSで1年間、鍛えられたおかげで今は理解できる。残念ながらこの本は、今は手に入りにくいようだ。

　Asset Pricing for Dynamic Economies (Altug-Labadie, 2008)はファイナンスの重要なテーマを経済学の視点も加えながら、解説している。式展開も丁寧。テーマの取り扱い、記述と式展開のバランスが絶妙で、個人的には非常に気に入っている。Altugはロンドンでも教えているトルコ人らしい。数字の１をIと書くやり方に一瞬戸惑ったが。丸善で偶然見つけた本だが、無人島に行くとしたら持って行きたい。

金融数理

PDFのファイルをシェアできるということの実験。
金融数理のファイル

Regime Switch

Kim & NelsonのState-Space Models with Regime Switchingを１年ぶりに読み直し中。式展開丁寧に書いてあって、なによりサンプルコード(GAUSSだけど）がダウンロードできるのがありがたい。

モンテカルロ・フィルタの勉強用にSequential Monte Carlo Methods in Practiceを図書館で借りる。いい本で欲しくなった。

長井の確率微分方程式も借りた。「コルモゴロフ方程式の記述に粘性解の方法を用いたことは類書に無いことである。粘性解の定義は若干迂遠でもあり、非線形の方程式を取り扱うときにこそ威力を発揮するその解の概念を線形の方程式に対しても適用することに多少ためらいもあったが、何より、その概念が確立微分方程式の解に関する期待値の満たす方程式を記述するのに極めて自然であり、また第５章のベルマン方程式の取り扱いとの一貫性も考慮すれば、本書では、必然的な選択のように思われた」そうです。

粘性解というのは、オレにとっては未知の領域で、さっぱり分からないが、非線形と関係があるらしい。Campbellの対数線形近似やモンテカルロ・フィルタなど、非線形の扱いに興味がある。

Controlled Markov Processes And Viscosity Solutions も粘性解に関する本かもしれない。この３冊は欲しいけど、全部買うと３万円くらいするので、図書館の本で我慢、我慢。

春休み

なんとか試験も終わり。春休みは有意義に過ごしたい。

①体力増強
②数学
　　・金融数理
　　・数学（微分、積分、確率、凸解析と最適化）
③最適化(C++)
④修論
　　Epstein and Zin, Regime Switching VAR
⑤英語

修論

ゼミが終わった後に、先生がわざわざ「修論では、新しいことをする必要は無く、既存の論文の論理で確かめること」を強調されていた。ロジックの積み重ねが大事であって、そのロジックで結果を解釈することが大事であって、修論はそれでＯＫだとのこと。そこを勘違いする人が多いとのこと。