Kalman-Bucyのフィルター理論（１）

離散時間のフィルタはカルマン・フィルタと呼ばれる(Kalman 1960)。連続時間のフィルタはカルマン・ブーシー・フィルタと呼ばれる(Kalman-Bucy(1961)。

津野のこの本は連続時間のカルマン・ブーシー・フィルタの数学、特に確率論の立場から解説したものである。実務の話はいっさい出てこない。類書がない、非常に貴重な本だと言える。

「フィルター問題では2乗平均ノルムを採用する。確率空間（Ω、Ｆ、Ｐ）上の確率変数Ｘ（ω）でＸの2乗平均ノルム∥Ｘ∥が有限になるものの全体Ｌ＾２（Ω、Ｆ）がフィルター問題で考察する確率変数の空間である。この空間Ｌ＾２（Ω、Ｆ）はHilbert空間になる。

フィルター問題の基礎は直交射影である。Ωのσ加法族H⊂Gをとる。L^2(Ω, G)の元XのL^2(Ω, H)への直交射影の像X^~は、X(ω)のHへの条件付期待値である。すなわち次式が成立する。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　X^~（ω）=E[X|H](ω)