金融数理の基礎 第４回

第２章　測度　２つのアプローチ

（１）measureというものの一般的公理

（２）R上のLebesgue測度を導入

零集合（zero set） "ε"で論じる話

• １点集合は零集合、可算集合（濃度がアレフ・ゼロ）は零集合。可算集合の可算この和集合も零集合。
• 非可算集合でもCantor集合は零集合

（Lebesgue）外測度

• 被覆。区間の外測度はその長さに等しい。
• 外測度は可算劣加法的である。

Lebesgueの可測集合とLebesgue測度

• 集合がLebesgue可測であるとは。
• Ｍ（σ-加法族）の基本的性質。可算加法性。
• 開集合、閉集合はLebesgue可測。
• 有限集合、Ｎ、Ｑ、Ｒ\ＱもLebesgue可測
• 素朴に測りたいもの　→　Borel集合族
• Borel集合族＋zero setの集合＝Ｍ　（Lebesgue測度）