測度についてのメモ

集合Xの全ての部分集合の集合P（X)をXのべき集合(power set)という。P(X)の部分集合Sがσ-加法族のであるとき、XとSの順序対（X,S)のことを可測空間(measurable space)と呼ぶ。Sについて誤解の余地がないときは、単にXを可測空間と呼ぶこともある。

可測空間（X、S）から可測空間（Y、U）への関数 f が「可測」であるとは、任意のu∈Uに対してf ＾{-1}(u)∈Sであることを指す

【測度と積分】

区間の外測度はその長さに等しい。

区間から出発して、集合の「長さ」を定義したいわけですね...

外測度は可算劣加法的である。

「長さ」が”可算加法性”を満たして欲しいわけですね。そして、これが測度の抽象的な概念の鍵になる性質でもあるわけですね。そして、この性質を確率の数学的基礎を与えるのにも用いることになる。この性質を持つ「良い」集合を定義する。

集合E⊂Rが（ルベーグ）可測であるとは、全ての集合A⊂Rについて、

m*(A)=m*（A∩E)+m*（A∩E＾c)

となることである。

ある集合の族が全体集合を含み、補集合と可算和について閉じているとき、その族をσ-加法族であるという。σ-加法族上で定義された[0,∞]に値をとる関数が、非交叉的な集合について可算加法的であるとき、この関数を測度という。

ルベーグ測度は特別な集合の族に制限した外測度にほかならないから、外測度の性質のいくつかは自動的にルベーグ測度に引き継がれる。

σ-加法族の族の積もまた、σ-加法族である。

Bを全ての区間によって生成されたσ-加法族とよび、その要素をボレル集合とよぶ（Emile Borelによる）。