連続時間のカルマンフィルタ２

状態変数のダイナミクスは確率微分方程式で記述される。でも観測方程式は離散時間。推移方程式は確率微分方程式の解（積分方程式）を用いて離散近似したVARモデルになって、結局離散時間の状態空間表現と同じようなものになる。係数は指数関数的なものになる。

連続時間のモデルについてはDurbin/Koopmanの『状態空間モデリングによる時系列分析入門』に分かりやすい例が載っていた。この本は結構いいね。ちゃんと読もう。もうAmazonでは手に入らないようだな。

津野の『Kalman-Bucyのフィルター理論』に目を通したけど、ほとんど頭にのこっていないな。もう一度読み直そう。

フィルター問題とは、「G可測な確率変数X（ω）に対して、H可測な確率変数、すなわち時点ｔで観測可能な確率変数X*（ω）で、X（ω）を最適に近似するものを求める」こと。

最適性の基準は２乗平均ノルムを採用する。

Ωのσ加法族H⊂Gをとる。ヒルベルト空間L２（ΩG)の元XのL２（ΩG)への直交射影のx*のHへの条件付期待値である。

（X,｛Yｔ｝）がガウス系であれば「Xの観測可能空間への直交射影」と「Xの観測空間への直交射影」は一致する。