測度論、確率論（１）

　株価、債券価格（金利）、為替など、金融市場の数学モデルを作る場合、各時刻で偶然起こった現象を含んだ確率過程として記述する。偶然性は、標本空間と呼ぶ可測空間（Ω、Ｆ）を導入してとらえる。『標本空間』の上に確率測度を設定することができる。つまり、確率過程は、（Ω、Ｆ）上の『状態空間』と呼ばれる別の可測空間（Ｓ、Ｓ）値を取る確率変数の集まりＸ＝｛Ｘ_t；０≦ｔ＜∞｝である。

　我々の目的のために、状態空間（Ｓ、Ｓ）はボレルσ族を具備したｄ次元ユークリッド空間をとる。つまりＳ＝Ｒ^d、Ｓ＝Ｂ（Ｒ^d）である。ここでＢ（Ｕ）はある位相空間Ｕの開集合をすべてふくむ最小のσ族を表すものとする。

シュリーブの『ファイナンスのための確率解析Ⅱ』の8章、アメリカン・オプションのところで「停止時刻」が出てくるが、測度論、確率論の知識を前提に議論が進むのでなかなか理解が進まない。やはり測度論、確率論を一度きちんと勉強しないといけないと思う。

大まかに言えば、測度はある空間の部分集合の非負関数で完全加法的なものである。ここで完全加法的とは互いに素な集合の列の和の測度が、それぞれの集合の測度の和となることを意味する。

測度論は積分論の基礎であり、この両理論は現代数学、とくに解析学、関数解析学、確率論において重要な役割を演じている。

Ａが『有限集合』であるとは、Ａに属する元の個数が有限であることをいう。空集合も有限集合と考える。有限集合でない集合を無限集合という。

Ａが『可算集合』であるとはＡが自然数全体の集合Ｎと同等であることをいう。Ａが『高々可算集合』であるとはＡが有限または可算集合であることをいう。Ａが『非可算集合』であるとはＡが有限集合でも可算集合でもないことをいう。

整数全体の集合Ｚは可算集合である。集合Ａが高々可算集合、Ｂ⊂ＡであればＢも高々可算集合である。

Ｅを集合とする。ｘ、ｙの関数ｄが次の四条件を満たすときにＥ上の距離であるという。　[０]任意のｘ、ｙ∈Ｅに対して０≦ｄ（ｘ、ｙ）＜∞が対応する。　[１]任意のｘ、ｙ∈Ｅに対してｄ（ｘ、ｙ）＝ｄ（ｙ、ｘ）、[２]任意のｘ、ｙ、ｚ∈Ｅに対してｄ（ｘ、ｙ）≦ｄ（ｘ、ｚ）＋ｄ（ｚ、ｙ）　[３]任意のｘ∈Ｅに対してｄ（ｘ、ｘ）＝０であり、逆にｘ、ｙ∈Ｅに対してｄ（ｘ、ｙ）＝０であればｘ＝ｙ．このときＥとｄの組（Ｅ，ｄ）を『距離空間』、Ｅの元を『点』という。ＡをＥの任意の部分集合とするとき、ｄをＡに制限すると（Ａ，ｄ）も距離空間となる。（Ａ，ｄ）を（Ｅ，ｄ）の『部分距離空間』という。

Ωを空でない集合とする。これは有限集合でも無限集合でも良い。このΩを標本空間として、その部分集合に対して確率を定義したいが、一般に確率はΩのすべての部分集合に対して定義されているわけではない。そこで確率の定義されているΩの部分集合全体をＢとする。

部分集合Ａ⊂Ωに確率が定義されている。１）Ω∈Ｂ、２）Ａ∈Ｂ⇒Ａ^ｃ∈Ｂ、３）部分集合列 Ａｎ∈B (ｎ∈Ｎ) ⇒ ∪_{ｎ＝１}^∞ A_n ∈B 。これらを満たすΩの部分集合の集まりＢをΩ上のσ集合体という。

Ｂ１とＢ２をΩ上のσ集合体とする。Ｂ１∩Ｂ２はΩ上のσ集合体である。ＳをΩの任意の部分集合族とする。このときＳをふくむ最小のΩ上のσ集合体が一意的に存在する。これをσ[Ｓ]と書き、Ｓから生成されるΩ上のσ集合体という。

Ｅ＝（Ｅ，ｄ）を距離空間、ＯをＥの開部分集合全体からなる集合族とする。このときＯから生成されるＥ上のσ集合体Ｂ（Ｅ）≡σ[Ｏ]をＥ上の『ボレル集合体』、Ｅの部分集合でＢ（Ｅ）に属するものをＥの『ボレル集合』という。

Ｅを距離空間とする。このときＥの開部分集合、閉部分集合、コンパクト部分集合、可算集合、有限集合はすべてＥのボレル部分集合。　（注意：ボレル集合体は距離空間に限らず、もっと一般の位相空間についても同様に定義される。ここでは距離空間しか扱わない）

特に重要なのはＥがｄ次元ユークリッド空間Ｒ^dの場合。Ｒ^d上のボレル集合体Ｂ（Ｒ^d）を簡単のためＢ_dと書き、『ｄ次元ボレル集合体』、またＢ_ｄに属するＲ^dの部分集合を『ｄ次元ボレル集合』という。

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Ｘを抽象空間とする。Ｘのベキ集合、すなわちＸのすべての部分集合の族を２^xで表す。Ａを２^xの空でない部分族とする。Ａが集合の交わりに関して閉じているとき、すなわちＢ、Ｃ∈ＡからＢ∩Ｃ∈Ａが出るとき、ＡはＸの上の乗法族であるという。

Ａが有限和、補演算（補集合をとる操作）に関して閉じているとき、ＡはＸ上の『有限加法族』(finitely additive class)（または『集合体』(algebra of sets)）であるという。

Ａが単調極限に関して閉じているとき、ＡはＸの上の単調族であるという。Ｘ自身がＡに属し、かつＡが可算直和と固有差に関して閉じているとき、ＡはＸの上のDynkin族という。

Ａが可算和、補演算に関して閉じているとき、ＡはＸの上の『σ加法族』(σ-algebra)（または『可算加法族』『完全加法族』『ボレル集合体』(Borel field)）という。